Hampiran dan Galat

2014
05.27
  • Galat
Galat atau biasa disebut error dalam metode numerik adalah selisih yang ditimbulkan antara nilai sebenarnya dengan nilai yang dihasilkan dengan metode numerik. Dalam metode numerik, hasil yang diperoleh bukanlah hasil yang sama persis dengan nilai sejatinya. Akan selalu ada selisih, karena hasil yang didapat dengan metode numerik merupakan hasil yang diperoleh dengan proses iterasi (looping) untuk menghampiri nilai sebenarnya. Walaupun demikian bukan berarti hasil yang didapat dengan metode numerik salah, karena galat tersebut dapat di tekan sekecil mungkin sehingga hasil yang didapat sangat mendekati nilai sebenarnya atau bisa dikatakan galatnya mendekati nol.
galat
Besar kecilnya galat sangat relatif, tergantung berapa besar galat jika dibandingkan dengan nikai sebenarnya. Misalnya seseorang mengukur panjang sebuah bidang adalah 49 cm, padalah panjang sebenranya adalah 50 cm, maka galatnya adalah 50 – 49 =  1 cm. Kemudian temannya mengukur sebuah bidang yang lain panjangnya adalah 149 cm, padahal panjang sebenarnya adalah 150 cm, maka galatnya adalah 150 – 149 = 1 cm. pada kedua pengukuran tersebut masing-masing punya galat 1 cm, tapi pada pengukuran pertama galatnya lebih signifikan dibanding dengan pengukuran yang kedua, karena galat relatif pengukuran pertama adalah 1/50 = 0.02, sedangkan galat relatif pengukuran kedua adalah 1/150 = 0.00667.
 
Secara umum sumber utama galat ada dua yaitu:
  1. Galat pemotongan
  2. Galat pembulatan
Galat pemotongan adalah galat yang ditimbulkan oleh pembatasan jumlah komputasi yang digunakan pada proses metode numerik. Banyak metode dalam metode numerik yang penurunan rumusnya menggunakan proses iterasi yang  jumlahnya tak terhingga, sehingga untuk membatasi proses penghitungan, jumlah iterasi dibatasi sampai langkah ke n. Hasil penghitungan sampai langkah ke n akan menjadi hasil hampiran dan nilai penghitungan langkah n keatas akan menjadi galat pemotongan. dalam hal ini galat pemotongan kan menjadi sangat kecil sekali jika nilai n di perbesar. Konsekuensinya tentu saja jumlah proses penghitungannya akan semakin banyak.
Galat pembulatan adalah galat yang ditimbulkan oleh keterbatasan komputer dalam menyajikan bilangan real. Hampir semua proses penghitungan dalam metode numerik menggunakan bilangan real. Penyajian bilangan real yang panjangnya tak terhingga tidak bisa disajikan secara tepat. Misalnya 1/6 akan menghasilkan nilai real 0.66666666…….. Digit 6 pada bilangan tersebut panjangnya tidak terbatas. Sehingga untuk melanjutkan proses penghitungan bilangan tersebut dibulatkan menjadi 0.6667, tergantung berapa digit angka yang dibutuhkan. Dalam hal ini selisih antara 0.666666… dan 0.6667 disebut galat pembulatan.
Dalam implementasinya, kedua galat tersebut kerap muncul bersamaan, Sehingga galat total yang dihasilkan oleh sebuah proses metode numerik adalah galat pemotongan dan galat pembulatan. Jumlah kedua galat tersebut disebut galat total.

Galat numerik berasal dari penggunaan hampiran untuk menyatakan operasi dan besaran matematis yang eksak, yang mencakup galat pemotongan (truncations error) dan galat pembulatan. Galat pemotongan (truncations error) merupakan galat yang terjadi jika hampiran digunakan untuk menyatakan suatu prosedur matematis, sedangkan galat pembulatan merupakan galat yang terjadi jika bilangan hampiran digunakan untuk menyatakan bilangan eksak. Kedua jenis galat ini mempunyai hubungan antara hasil yang eksak atau yang sejati, dan  hampirannya dapat dirumuskan sebagai berikut :

Nilai sejati (true value) = hampiran + galat

Dengan menyusun persamaan diatas, didapatkan bahwa galat numerik sama dengan ketidaksesuaian (discrepancy) antara yang sebenarnya dan hampiran seperti dalam persamaan :

Et = nilai sejati – hampiran, dimana Et digunakan untuk mewujudkan nilai eksak dari galat.

Terdapat juga satu cara untuk memperhitungkan besarnya besaran yang sedang dievaluasi adalah menormalkan galat terhadap nilai sejati, seperti dalam persamaan :

Galat relative pecahan = galat/nilai sejati

dimana galat relatif dapat juga dikalikan dengan 100% agar dapat diungkapkan sebagai berikut :

Untitledt = galat sejati/nilai sejati * 100%, dimana Untitledt menunujukan persen galat relatif yang sejati.

Persamaan diatas untuk E dan Untitleddiberi tikalas t untuk menekankan bahwa galat dinormalkan terhadap nilai sejati. Namun, dalam situasi yang sebenarnya hal ini jarang sekali tersedia, sehingga untuk situasi ini, alternatifnya adalah menormalkan galat dengan menggunakan taksiran terbaik yang tersedian dari nilai sejati, yaitu terhadap hampiran itu sendiri seperti dalam persamaan :

Untitleda = galat hampiran/ hampiran * 100%, dimana tikalas Untitleda menandakan bahwa galat dinormalkan terhadap hampiran

Salah satu tantangan metode numerik adalah menentukan taksiran galat tanpa megetahui nilai sejatinya. Misalnya, metode numerik tertentu menggunakan pendekatan secara iterasi untuk menghitung jawaban, sehingga suatu hampiran sekarang dibuat berdasarkan hampiran sebelumnya. Proses ini dilakukan secara berulang atau iterasi yang bermaksud menghitung hampiran yang lebih baik dan lebih baik. Untuk kasus ini, galat seringkali ditaksir sebagai selisih antara hampiran sebelumnya dengan yang sekarang, sehingga persen galat relative dapat ditentukan dengan persamaan :

Untitleda = (hampiran sekarang – hampiran sebelumnya) /hampiran sekarang * 100%