• A Simple Mathematical Model

Mathematical model (model matematis) secara luas dapat diartikan sebagai suatu rumusan atau persamaan yang mengekspresikan sistem fisik, bentuk fisik, ataupun proses ke dalam bentuk matematis.  Secara umum, model matematis dapat di tuliskan seperti berikut ini:

1Sebagai contoh:

f(x) = x+1

Jika digambarkan diagram blok agar dari bentuk fisik menjadi bentuk matematis dapat dilakukan proses yang disebut engineering problem solving process, maka melalui tahapan sebagai berikut:2

Bentuk matematis dibutuhkan agar dapat memrepresentasikan kejadian yang ada di alam menjadi bentu yang dapat dianalisis secara matematis.

Variable tak bebas (dependent variable) adalah suatu karakteristik yang biasanya merefleksikan sifat atau keadaan sistem. Variable bebas (independent variable) biasanya berupa dimensi, yaitu ruang atau waktu.

Persamaan Newton dapat dijadikan contoh untuk kasus ini:

3

Kemudian dapat dibentuk menjadi persamaan dibawah ini:

4

Dimana a adalah variable tak bebas yang merefleksikan sifat sistem, a sangat tergantung dari besarnya nilai F atau m. F adalah fungsi pemaksa (forcing function) dan m adalah parameter. Pada contoh ini tidak ada yang namanya variable bebas karena belum memperkirakan variasi nilai percepatan (a) di dalam ruang dan waktu.

Contoh di atas merupakan bentuk sederhana yang dapat diperoleh dengan teknik matematika yang sederhana juga. Tetapi model matematis atau fenomena fisik dapat lebih kompleks lagi dari pada teknik matematis aljabar yang sederhana. Sebagai contoh, pada hukum Newton tentang gaya dapat ditentukan kecepatan, melalui persamaan berikut:

5

6

Sehingga dapat dinyatakan sebagai massa (m) yang dikalikan dengan perubahan kecepatan terhadap waktu sama dengan gaya (F). Jika nilai gaya positif, maka object akan melakukan percepatan (accelerate), sebaliknya jika nilai gaya negatif, maka object akan melakukan perlambatan (decelerate).

Selanjutnya, ekspresikan dalam bentuk:

78

Jika gaya ke bawah ( FD) memberikan nilai positif, maka:

9

Dan gaya ke atas (FU) akan memberikan nilai negatif karena melawan gaya gravitasi, maka:

10

Sehingga dapat dituliskan:

1112

Dan jika diintegralkan saat v = 0 dan saat t = 0 atau saat batas v adalah 0 sampai v dan batas t adalah 0 sampai t, maka:

13

Dari persamaan tersebut dapat disimpulkan bahwa v(t) adalah variable tak bebas, t adalah variable bebas, c dan m adalah parameter, g adalah fungsi pemaksa (forcing function).

 

  • Conservation Laws and Engineering

Conservation laws di dalam science dan engineering sangat mudah untuk dimengerti:

14

15

16

Secara sederhana contoh yang sering dijumpai di dalam dunia teknik elektro adalah hukum ohm tentang arus.

17

Yang artinya arus yang masuk ke dalam suatu node akan sama dengan arus yang keluar dari node tersebut.