1. Metode Grafik

Metode sederhana untuk menentukkan akar persamaan f(x) = 0 adalah dengan membuat plot pada fungsi dan kapan fungsi tersebut memotong sumbu x.

Tetapi metode grafik ini memiliki kelemahan yaitu ketidakpresisian. Walaupun memiliki kelemahan, tetapi metode ini masih dapat digunakan untuk mendapatkan akar persamaan secara kasaran. Metode ini dapat juga digunakan sebagai tebakan awal (starting guesses) untuk metode numeric.

Sebagai contoh ketidakpresisian metode grafik, seperti pada contoh dibawah ini:

f(x) = sin 10x + cos 3x

1

 

2

Setelah gambar diperbesar maka terlihat gelombang tersebut memtong sumbu x sebanyak 2 kali. Dan secara kasaran, dapat ditentukan nilai dari kedua akar persamaan tersebut. Akar persamaan kira kira saat x = 4,23 dan x = 4,26.

 

2. Metode Bisection

Akar-akar persamaan pada metode bisection memiliki persyaratan sebagai berikut:

f(xl).f(xu) < 0,

yang artinya:

Akan ada paling sedikit satu akar persamaan diantara xl dan xu. xl adalah x low, xu adalah x up.

Metode bisection atau metode Bolzano adalah salah satu tipe metode incremental search dalam mencari akar persamaan yang dilakukan dengan cara membagi dua setiap interval yang ada. Posisi akar persamaan dapat ditentukan dengan cara melihat perubahan tanda pada gelombang yang terjadi.

3

Terlihat saat perubahan tanda (arah panah berubah) maka akan ada paling sedikit satu akar persamaan. Pada contoh di atas f(x) = sinx, terlihat ada sekitar empat akar persamaan yaitu saat x = 0, x = π, x = 2 π, x = 3 π.

Untuk membuat listing program dari metode bisection ini, harus mematuhi:

4

Adapun kriteria penghentian iterasi adalah sebagai berikut:

5

Jika ϵa ditetapkan sebagai batas iterasi sampai pada nilai tertentu, sebagai contoh iterasi akan terus berlangsung sampai ϵa kurang ϵs. Nilai ϵs dapat ditentukan secara manual.

 

3. Metode Posisi Salah (False Position)

6

Penjelasan dapat dilihat pada grafik:

7

Segitiga serupa yang digunakan untuk mendapatkan persamaan adalah segitiga yang diarsir.

Dibandingkan dengan metode bisection (bagi dua), metode posisi salah (regulasi falsi) lebih cepat untuk mendapatkan akar persamaan.

8

 

4. Incremental Searches and Determining Initial Guesses

Semua penempatan akar harus diperiksa. Incrementas Searches diikutsertakan pada saat mulai pemprograman komputer. Dimulai dari ujung daerah yang diinginkan, lalu membuat evaluasi dengan increment kecil di sepanjang daerah tersebut. Jika tanda fungsi berubah, harus dianggap bahwa suatu akar ada dalam kenaikan itu. Nilai x pada saat permulaan dan akhir dari increment dapat memberikan tebakan awal bagi salah satu teknik Akolade.

9

Terlihat bahwa akar terakhir adalah ganda dan akan dihilangkan tanpa memandang panjang increment.

Masalah yang ada yaitu panjang increment. Jika terlalu kecil, pencarian akan menghabiskan waktu, jika terlalu besar mungkin saja akar-akar yang terpisah secara berdekatkan akan hilang. Terdapat juga masalah yaitu adanya kemungkinan akar ganda.

 

5. Contoh Program:

Tampilan Program:

12

13

Dengan batas iterasi 0,0025 maka banyaknya iterasi yang dilakukan sesuai dengan program di atas adalah kurang lebih 40 iterasi. Terlihat bahwa program tersebut sangat membantu dalam mencari akar persamaan menggunakan metode posisi salah.

10

11

Dengan batas iterasi 0,0025 maka banyaknya iterasi yang dilakukan sesuai dengan program di atas adalah 26 iterasi. Terlihat bahwa program tersebut sangat membantu dalam mencari akar persamaan menggunakan metode bisection.

 

Download Program:Program