Posted: 14th March 2012 by Ahmad Hafidz in Statistika

MEAN, MODUS, MEDIAN, STANDAR DEVIASI

 

A. Rata-rata Hitung (Mean)

Statistik yang paling banyak digunakan ukuran gejala pusat adalah Rata-rata hirung (Mean). Rata-rata hitung didefinisikan sebagai jumlah semua skor untuk variabel dan kemudian dibagi dengan jumlah pengamatan. Oleh karena itu, rumus untuk rata-rata hitung adalah sebagai berikut:

Sebagai contoh, mengambil data yang disajikan dalam Tabel :

Jumlah pengamatan (ΣX) adalah 1 + 5 + 7 + 2 + 10 + 4 + 6 + 5 + 4 + 6 = 50. Lalu, kita membagi nilai ini dengan n, yang pada contoh ini adalah 10 karena kita memiliki 10 pengamatan. Jadi, 50/10 = 5. Rata-rata hitung untuk set pengamatan ini adalah 5. Software statistik SPSS menyediakan beberapa cara untuk menghitung rata-rata untuk sebuah variabel. Perintah Mean dapat ditemukan di bawah Descriptives, kemudian Frequencies, Explore, dan akhirnya Mean. Selain itu, rata-rata dapat menjadi tambahkan output untuk perhitungan lainnya,seperti regresi ganda. Output untuk mean Descriptives disajikan pada Gambar :

Seperti yang terlihat pada output, variabel “titik data” memiliki total 10 observasi (dilihat di bawah kolom N), nilai terendah dalam kumpulan data adalah 1, nilai tertinggi adalah 10, rata-rata adalah 5, dan standar deviasi 2,539.
Ada dua masalah utama yang perlu Anda ketahui ketika menggunakan rata-rata hitung.

  1. Rata-rata hitung dapat dipengaruhi oleh outliers, atau data nilai-nilai yang berada di luar jangkauan mayoritas titik data. Outliers dapat menarik mean menuju daerah outliers, sehingga menghasilkan nilai Mean yang bias. Sebagai contoh, jika data yang ditetapkan dalam Gambar 1 termasuk data titik (yang akan pengamatan 11) dari 40, mean akan menjadi 8.2. Jadi, ketika kumpulan data sangat miring, itu dapat lebih signifikan untuk menggunakan ukuran gejala pusat yang lain (misalnya, median atau modus).
  2. Rata-rata hitung sulit untuk ditafsirkan ketika variabel yang dihitung adalah variabel nominal dengan dua tingkatan (misalnya, jenis kelamin) dan tidak signifikan ketika ada lebih dari dua tingkat atau kelompok untuk suatu variabel (misalnya, etnis). Mean akan konsisten saat pengukuran dengan pengulangan (repeated measures) pada variabel yang sama, rata-rata hitung cenderung untuk tidak berubah secara radikal (selama tidak ada ekstrim outliers dalam kumpulan data).

B. Modus

Modus merupakan fenomena yang paling banyak terjadi. Modus paling banyak digunakan pada penelitian kualitatif. Dalam penelitian kualitatif, hal yang paling banyak menyebabkan suatu keadaan sering di anggap penyebab keadaan tersebut. Misalnya kebanyak kecelakaan lalulintas disebabkan oleh pengemudi yang mabuk. Pengemudi yang mabuk dalam hal ini adalah “modus”. Dalam data berbentuk kuantitatif, modus sangat mudah untuk dideteksi. Dengan melihat data kita tinggal menentukan angka berapa yang paling sering muncul. Angka yang sering muncul itulah yang kita sebut dengan modus.
Pada data nilai siswa pada mata pelajaran sejarah kebudayaan Islam di atas terlihat bahwa angka yang paling sering muncul adalah 67 yang muncul sebanyak tiga kali dan tidak ada yang muncul sebanyak itu dari data yang lain. Akan tetapi pada data yang telah tersusun dalam tabel frekuensi, modus dapat di cari dengan menggunakan rumus:

Keterangan:

 

b= batas bawah kelas modus yaitu kelas yang memiliki frekuensi terbanyak

 

p= panjang kelas modus

 

b1 = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval dengan tanda kelas yang lebih kecil sebelum tanda kelas modus

 

b2 = frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval dengan tanda kelas yang lebih besar sesudah tanda kelas modus

Misalnya dari tabel frekuensi di atas kita dapat menghitung modusnya. Dengan memperhatikan tabel kita akan menemukan

 

b = 70,5

 

p = 10

 

b1 = 7 – 5 = 2

 

b2 = 7 – 3 = 4

Dengan memasukkan data tersebut ke dalam rumus akan kita dapatkan

Kembali kita menemukan bahwa menghitung modus pada data berkelompok berbeda dengan menghitung modus pada data tunggal. Aspek ramalan yang kita gunakan pada penentuan modus dengan menggunakan data berkelompok turut menentukan hasil modus yang kita temukan. Ternyata menentukan modus dengan tidak mengelompokkan data lebih tepat daripada kita mengelompokkan data terlebih dahulu.

C. Median

Median adalah datum yang membagi data menjadi dua kelompok, 50 persen data kurang dari nilai median dan 50 persen data lebih besar dari median. Pada data tunggal, pencarian nilai median dilakukan dengan cara mengurutkan data dari nilai terkecil ke nilai terbesar. Kemudian nilai tengah data yang telah diurutkan itu merupakan nilai median.

Bagaimana menentukan nilai median dari data berkelompok? Bagaimana penurunan formula nilai median untuk data berkelompok hingga menjadi rumus sebagai berikut:

di mana:

Lo = tepi bawah dari kelas limit yang mengandung median,

Me = nilai median,

n = banyaknya data,

Fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas yang memuat median,

f0 = frekuensi kelas yang memuat median,

c = panjang intreval kelas.

Perhatikan Tabel berikut:

Bentuk histogram dari Tabel Di atas adalah:

Oleh karena banyaknya data 64, maka nilai median jatuh pada data ke-32. Garis merah horizontal menunjukkan posisi data ke-32 sementara garis hijau muda vertikal menunjukkan median data berkelompok dari data di atas. Jumlah kumulatif hingga kelas limit ketiga adalah 22. Berarti, posisi median berada pada data ke-10 (32 – 22) pada kelas limit keempat. Bilangan ini diperoleh dari (n/2 – Fk).

Median data berkelompok dihitung berdasarkan interpolasi dari posisi data pada kelas limit yang mengandung median. Secara matematis, persamaannya dapat ditulis sebagai berikut:

Sehingga dengan manipulasi matematik akan diperoleh persamaan:

Di mana: Lu – Lo menyatakan panjang interval kelas c dan Fk* – Fk menunjukkan frekuensi kelas limit median f0. Dengan demikian, median data berkelompok yang dihasilkan sama dengan:

Demikian asal muasal median untuk data berkelompok.

4. Varian dan Standar Deviasi

Berbicara tentang standar deviasi atau simpangan baku dalam bahasa Indonesia tidak bisa lepas dari varians. Hal ini karena standar deviasi adalah akar kuadrat dari varians atau sebaliknya, varians adalah kuadrat dari standar deviasi.

Salah satu ukuran variabilitas (measure of dispersion) yang paling sering digunakan jika data yang diukur berskala interval adalah varians. Varians didefinisikan sebagai rata-rata dari skor penyimpangan kuadrat. Untuk mencari varians, dibedakan antara varians populasi yang dilambangkan dengan (σ2) dengan varians sample yang dilambangkan dengan (s2). Untuk varians populasi, dapat dicari dengan rumus:

Dimana:
µ = rata-rata populasi
N = total jumlah populasi
Adapun varians untuk sample dapat dicari dengan rumus yang sama namun mengurangkan N dengan 1 sebagai berikut:

Dimana :
s = rata-rata sample
n = jumlah sampel yang digunakan
untuk lebih memperjelas, baiklah kita coba dengan menghitung varians untuk populasi jika kita memiliki data pengukuran tentang nilai 5 siswa pada mata pelajaran matematika sebagai berikut:
7 7 9 8 6
Untuk menghitung varians dari data di atas maka kita harus mencari dahulu berapa mean (rata-rata) dari. Dengan rata-rata 6,9 maka kita tinggal memasukkan data di atas sebagai berikut:

Dengan varian sebesar 1,3 maka untuk mencari standar deviasi kita tinggal mengakar kuadratkan 1,3 yang akan menghasilkan 1,14. Karena varian adalah ukuran keberagaman data, maka semakin besar angkat varians maka semakin beragamlah data yang kita miliki dan semakin kecil nilai varians maka semakin homogenlah data yang kita miliki.
Nah, jika seandainya nilai varians yang kita miliki ternyata adalah 0, maka dapat disimpulkan bahwa dalam populasi atau sampel yang kita miliki tidak terdapat variabilitas. Keadaan demikian dapat terjadi jika sekor untuk setiap sampel/populasi adalah sama.

Selain rumus di atas, kita juga dapat menggunakan rumus-rumus lain untuk mencari varians. Pada dasarnya, pemilihan rumus yang digunakan tergantung pengguna yang merasakan rumus manakah yang paling mudah digunakan. Rumus-rumus yang lain tersebut diantaranya adalah:
Untuk varians sampel:

Sumber :

http://vesterstatistics.blogspot.com/2010/02/rata-rata-hitung-mean.html

http://statistikpendidikanii.blogspot.com/2008/04/modus-merupakan-fenomena-yang-paling.html

http://statistikaterapan.wordpress.com/2008/12/20/menentukan-rumus-median-data-berkelompok/

http://statistikpendidikanii.blogspot.com/2010/07/varian-dan-standar-deviasi.html

CAPTCHA Image
*