RSS
 

Posts Tagged ‘distribusi’

Distribusi T

14 Jun
Pengujian hipotesis dengan distribusi t adalah pengujian hipotesis yang menggunakan distribusi tsebagai uji statistik. Tabel pengujiannya disebut tabel t-student. Distribusi t pertama kali diterbitkanpada tahun 1908 dalam suatu makalah oleh W. S. Gosset. Pada waktu itu, Gosset bekerja padaperusahaan bir Irlandia yang melarang penerbitan penelitian oleh karyawannya. Untuk mengelakkanlarangan ini dia menerbitkan karyanya secara rahasia dibawah nama ‘Student’. Karena itulahDistribusi t biasanya disebut Distribusi Student .
Ciri Distribusi T
sample yang di uji berukuran kurang dari 30

a. Jika n ≥ 30, digunakan  x  sebagai Normal distribusi.

•  Bila x adalah normal, maka x  juga normal.

•  Bila x tidak diketahui distribusinya, maka x  mendekati normal.

• Bila σ   tidak diketahui, gantilah σ  dengan s.

b. Jika 15 ≤ n < 30, gunakan Normal atau distribusi-T, tergantung dari σ  diketahui atau

tidak.

•  Bila x adalah Normal, maka  x  juga Normal jika σ  diketahui, digunakan distribusi-T

bila σ  tidak diketahui.

•  Bila x tidak diketahui distribusinya, maka x  mendekati normal bila

σ  diketahui

(dengan Central Limit Theorem= CLT), digunakan distribusi-T bila

σ  tidak diketahui

(dengan CLT)

c. Jika n < 15 , jika x diketahui Normal, sifat-sifat sama pada b. yang berlaku.

Fungsi Pengujian Distribusi t

a. Untuk memperkirakan interval rata–rata.

b. Untuk menguji hipotesis tentang rata–rata suatu sampel.

c. Menunjukkan batas penerimaan suatu hipotesis.d. Untuk menguji suatu pernyataan apakah sudah layak untuk dipercaya

 

Distribusi t digunakan sebagai hampiran untuk distribusi normal dengan ukuran sampel kecil (biasanya n ≤ 30) dan standar deviasi populasi (σ) tidak diketahui. Diberikan xi sebanyak n amatan yang saling bebas, dan
Teorema 1. Misalkan Z adalah variabel acak normal baku dan V adalah variabel acak khi-kuadrat dengan derajat bebas v. Jika Z dan V independen, maka distribusi variabel acak T bila
diberikan oleh (dengan derajat bebas = v):
Sumber :
 
 

Distribusi KAI Kuadrat

14 Jun

Distribusi KAI Kuadrat

Pengujian dengan Kai Kuadrat berguna untuk pengujian hipotesa, tipenya dapat dibagi menjadi 5 macam yaitu :

Pengujian untuk Kompabilitas.

Pengujian Proporsi.

Pengujian untuk sejumlah sampel (K) tertentu.

Pengujian untuk ketidaktergantungan.

Pengujian untuk Keragaman (varian).

 

Distribusi Kai Kuadrat dapat disimbulkan dengan huruf dasar Yunani Chi ( χ ) dan ditulis dengan Chi kuadrat atau dibaca Kai Kuadrat, yaitu dengan menambahkan kuadrat pada simbol huruf Yunani tersebut.

Secara umum Kai Kuadrat dapat dirumuskan sbb :

Selanjutnya seperti disebutkan sebelumnya, fungsi dari Distribusi Kai Kuadrat ialah untuk Uji Hipotesis. Macam dari distribusi Kuadrat yang pertama adalah Pengujian untuk Kompabilitas.

Pengujian ini prinsipnya adalah dengan memperbandingkan antara frekuensi observasi dan frekuensi teoritis (harapan).

 

Frekuensi observasi adalah frekuensi yang datanya diperoleh langsung dari pengamatan di lapangan, jadi niainya diperoleh dari masing-masing data yang diperoleh pada saat melakukan pengamatan. Sedangkan frekuensi teoritis (harapan) ialah frekuensi yang diperoleh dari perhitungan dengan rumus yang didasarkan dari nilai rata-rata, standar deviasi, yang diperoleh dari jumlah data observasi.

 

Perhitungan frekuensi observasi dan frekuensi teoritis merupakan dasar untuk perhitungan nilai Kai Kuadrat hitung –>

X2

Nilai dari Kai Kuadrat hitung dapat dikatakan sesuai / kompatibel bila nilainya lebih kecil dari nilai Kai Kuadrat tabel, yang mana nilai dari Kai Kuadrat tabel dapat diperoleh dari Kai Kuadrat Tabel yang diwakili dengan kurva normal Kai Kuadrat

Pengujian untuk ketidaktergantungan

•Prinsip kerja dari pengujian ini adalah mencari hubungan antara beberapa sampel yang terbagi dalam dua variabel atau lebih, yang mana dari variabel tersebut dapat dibagi lagi menjadi beberapa kategori.

Langkah-langkah pengujian dalam test of independency.

Menentukan hipotesa 0 (nol) & hipotesa altrnatif

Menentukan level of significance (α ) dan derajat bebas (db).

 

Derajat bebas untuk pengujian ini yaitu (m-1)(k-1).

Kriteria pengujian

Menghitung Kai Kuadrat

Kesimpulan

nij = frekuensi observasi ke i sampel ke j

hij = frekuensi teoritis = [(nio)/no] x nj

 

UJI CHI-KUADRAT

Beberapa manfaat dari distribusi chi-kuadrat, yaitu antara lain :

  1. Untuk menguji apakah frekuensi yang diamati berbeda secara signifikan dengan frekuensi teoritis atau frekuensi yang diharapkan.
  2. Untuk menguji kebebasan (independensi antar faktor dari data dalam daftar kontingensi
  3. Untuk menguji apakah data sampel mempunyai distribusi yang mendekati distribusi teoritis tertentu atau distribusi hipotesis tertentu (distribusi populasi), seperti distribusi binomial, distribusi poisson, dan distribusi normal.

 

1. Uji beda frekuensi yang diamati dan diharapkan

Misalkan   kita mempunyai suatu sampel tertentu berupa kejadian A1, A2, A3, …,Ak yang terjadi dengan frekuensi 01,02,03,…,0k, yang disebut frekuensi yang diobservasi (diamati) dan bahwa berdasarkan probabilitas kejadia-kejadian yang diharapkan adalah dengan frekuensi e1,e2,e3, …,ek, yang disebut frekuensi yang diharapkan atau frekuensi territis. Dalam hal ini ingin diketahui perbedaan yang signifikan antara frekuensi yang diobservasi dengan frekuensi yang diharapkan

Kejadian A1, A2, A3, …,Ak
Frekuensi yang diobservasi 01,02,03,…,0k
Frekuensi yang diharapkan e1,e2,e3, …,ek

Jika χ2 = 0, maka frekuensi yang diobservasi dengan frekuensi yang diharapkan adalah tepat sama. Jika χ2 >0, maka frek observasi berbeda dengan frek yang diharapkan. Makin besar nilai χ2 , makin besar beda antara frek obsevasi dengan frek yang diharapkan.

Frek yang diharapkan dapat dihitung atas dasar hipotesis nol (H0).  Langkah-langkah untuk melakukan uji chi-kuadrat, adalah sebagai berikut :

 

  1. Merumuskan hipotesis yang akan diuji meliputi, H0 dan H1
  2. Menetapkan taraf signifikansi α dan derajat kebebasan ө untuk memperoleh nilai kritis χ2α dimana :
  1. ө = k-1, jika frek yang diharapkan dapat dihitung tanpa harus menduga parameter populasi dengan statistik sampel.
  2. ө = k-1-m, jika frek yang diharapkan dapat dihitung hanya dengan menduga parameter populasi sebanyak m dengan taksiran statistik sampel k.

2. Uji kebebasan ( independensi) dua faktor

 

Uji ini digunakan untuk menguji hipotesis mengenai ada atau tidak adanya hubungan (asosiasi)atau kaitan antara dua faktor. Misalnya, apakah prestasi belajar mahasiswa ada hubungan dengan kondisi sosial ekonomi orang tuanya, apakah agama yang dipeluk ada hubungannya dengan ketaatan beribadah.

Jika tidak ada hubungan antar dua faktor tersebut, maka dikatkan bahwa dua faktor itu saling bebas atau independen.

 

Prosedur chi-kuadrat dapat dipakai juga untuk menguji ada tidaknya pengaruh dari satu faktor terhadap faktor lainnya.

Misalkan dilakukan surveh pada 1.000 orang di Jakarta dan ingin diketahui apakah penghasilan masyarakat ada hubungannya dengan tingkat pendidikan. Penghasilan sebagai faktor 1 dan pendidikan sebagai faktor 2. Penghasilan dibedakan menjadi dua katagori, yaitu penghasilan rendah dan tinggi. Sedangkan pendidikan dibagi menjadi tiga tingkat, yaitu SMU ke bawah, sarjana muda, dan sarjana (termasuk pasca sarjana). Hasil survey tersebut disajikan pada tabel kontingensi berikut  :

Penghasilan

Pendidikan

Total Baris

SMU kebawah

Sarjana muda

Sarjana

Rendah

182

213

203

598

Tinggi

154

138

110

402

Total Kolom

336

351

313

1.000

Tabel di atas adalah tabel kontingensi berukuran 2 x 3, yang terdiri dari 2 baris dan 3 kolom. Bilangan dalam sel disebut frekuensi yang diobservasi, sedangkan totalnya disebut frekuensi marjinal

 

3. Uji Distribusi Populasi dengan Distribusi Sampel

Uji ini digunakan untuk mengetahui sejauh mana kesesuaian atau tingkat kesesuaian antara distribusi sampel dengan distribusi populasi, disebut juga uji kebaikan suai (test goodness of test).

 

Tahapan uji keselerasan apakah suatu distribusi mengikuti kurva normal atau tidak adalah sebagai berikut :

  1. Membuat distribusi frekuensi
  2. Menentukan nilai rata-rata hitung X dan standar deviasi σ dengan menggunakan data berkelompok.
  3. Menentukan nilai Z setiap kelas, dimana Z = (X-μ)/ σ
  4. Menentukan probabilitas tiap kelas dengan menggunakan nilai Z.
  5. Menentukan nilai harapan dengan mengalikan nilai probabilitas dengan jumlah data.
  6. Melakukan uji chi-kuadrat untuk menentukan apakah distribusi bersifat normal atau tidak.

 

 

SUMBER :

http://www.google.co.id/url?sa=t&rct=j&q=Distribusi+KAI+kuadrat&source=web&cd=26&ved=0CFQQFjAFOBQ&url=http%3A%2F%2Fkhoirilngeblog.files.wordpress.com%2F2011%2F01%2Fmodul-distribusi-uji-chi-kuadrat.doc&ei=ZZXQT73pHoWurAfb0IyaDA&usg=AFQjCNG6rD4dP9K3XFHfq6yXH34m5jwfjA

 

http://thomasyg.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/8193/Uji+Chi+Square.pdf

 

 

 

 
 

Distribusi

05 Apr

Distribusi Teoritis

 

Pada eksperimen statistik seringkali yang lebih menarik perhatian untuk diamati adalah nilai-nilai yang ditentukan oleh titik sampel,bukan titik sampel itu sendiri.

 

Pandanglah kembali ruang sampel S yang menunjukkan semua hasil yang mungkin terjadi dari  pelemparan dua uang logam berisi muka (m) dan besisi belakang (b) berikut ini

S = {(m,m), (m,b), (b,m), (b,b)}

 

Pada S kita dapat mengamati kejadian banyaknya muncul muka (m) yang kita sebut sebagai variabel X,dengan memakai relasi X pada S ke himpunan bagian bilangan riil Rx seperti berikut :

DISTRIBUSI NORMAL

Distribusi normal, disebut pula distribusi Gauss, adalah distribusi probabilitas yang paling banyak digunakan dalam berbagai analisis statistika. Distribusi normal baku adalah distribusi normal yang memiliki rata-rata nol dan simpangan baku satu. Distribusi ini juga dijuluki kurva lonceng (bell curve) karena grafik fungsi kepekatan probabilitasnya mirip dengan bentuk lonceng.

Distribusi normal memodelkan fenomena kuantitatif pada ilmu alam maupun ilmu sosial. Beragam skor pengujian psikologi dan fenomena fisika seperti jumlah foton dapat dihitung melalui pendekatan dengan mengikuti distribusi normal. Distribusi normal banyak digunakan dalam berbagai bidang statistika, misalnya distribusi sampling rata-rata akan mendekati normal, meski distribusi populasi yang diambil tidak berdistribusi normal. Distribusi normal juga banyak digunakan dalam berbagai distribusi dalam statistika, dan kebanyakan pengujian hipotesis mengasumsikan normalitas suatu data

Dari gambar di atas maka dapat diperoleh sifat-sifat kurva  normal, yaitu :

  1. Modusnya yaitu titik pada sumbu mendatar yang membuat fungsi mencapai maksimum yang terjadi pada x = µ
  2. Kurvanya setangkup terhadapa suatu garis tegak yang melalui nilai tengah µ
  3. Kurva ini mendekati sumbu mendatar secara asimtotik dalam kedua arah bila kita semakin menjauhi nilai tengahnya.

Luasan daerah yang terletak di bawah kurva tetapi di atas sumbu mendatar sama dengan 1

DISTRIBUSI BINOMIAL

Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi binomial adalah distribusi probabilitas diskret jumlah keberhasilan dalam n percobaan ya/tidak (berhasil/gagal) yang saling bebas, dimana setiap hasil percobaan memiliki probabilitas p. Eksperimen berhasil/gagal juga disebut percobaan bernoulli. Ketika n = 1, distribusi binomial adalah distribusi bernoulli. Distribusi binomial merupakan dasar dari uji binomial dalam uji signifikansi statistik.

Distribusi ini seringkali digunakan untuk memodelkan jumlah keberhasilan pada jumlah sampel n dari jumlah populasi N. Apabila sampel tidak saling bebas (yakni pengambilan sampel tanpa pengembalian), distribusi yang dihasilkan adalah distribusi hipergeometrik, bukan binomial. Semakin besar N daripada n, distribusi binomial merupakan pendekatan yang baik dan banyak digunakan

 

DISTRIBUSI POISSON

Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi poisson (dilafalkan ejaan Perancis: [pwasɔ̃]) adalah distribusi probabilitas diskret yang menyatakan peluang jumlah peristiwa yang terjadi pada periode waktu tertentu apabila rata-rata kejadian tersebut diketahui dan dalam waktu yang saling bebas sejak kejadian terakhir. (distribusi poisson juga dapat digunakan untuk jumlah kejadian pada interval tertentu seperti jarak, luas, atau volume).

Distribusi ini pertama kali diperkenalkan oleh Siméon-Denis Poisson (1781–1840) dan diterbitkan, bersama teori probabilitasnya, pada tahun 1838 dalam karyanyaRecherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile (“Penelitian Probabilitas Hukum Masalah Pidana dan Perdata”). Karyanya memfokuskan peubah acak N yang menghitung antara lain jumlah kejadian diskret (kadang juga disebut “kedatangan”) yang terjadi selama interval waktu tertentu.

Apabila nilai harapan kejadian pada suatu interval adalah , maka probabilitas terjadi peristiwa sebanyak k kali (k adalah bilangan bulat non negatif, k = 0, 1, 2, …) maka sama dengan

  • e adalah basis logaritma natural (e = 2.71828…)
  • k adalah jumlah kejadian suatu peristiwa  — peluang yang diberikan oleh fungsi ini
  • k! adalah faktorial dari k
  • λ adalah bilangan riil positif, sama dengan nilai harapan peristiwa yang terjadi dalam interval tertentu. Misalnya, peristiwa yang terjadi rata-rata 4 kali per menit, dan akan dicari probabilitas terjadi peristiwa k kali dalam interval 10 menit, digunakan distribusi poisson sebagai model dengan λ = 10×4 = 40.

Sebagai fungsi k, ini disebut fungsi massa probabilitas. The Distribusi poisson dapat diturunkan sebagai kasus terbatas distribusi binomial. Distribusi poisson dapat diterapkan pada sistem dengan kejadian berjumlah besar yang yang mungkin terjadi, yang mana kenyataannya cukup jarang

DISTRIBUSI SAMPLING

 

Distribusi sampling adalah topik yang sangat penting dalam statistik inferensi. Karena pengambilan sampel merupakan salah satu hal yang memberikan kontribusi besar dalam pengambilan keputusan yang dibuat. Singkatnya, sampling dilakukan karena ada keterbatasan waktu dan dana untuk setiap studi. Sebagai contoh, dampak kenaikan harga BBM terhadap masyarakat kecil. Di sini perlu dilakukan definisi secara jelas siapa yang menjadi target dari “masyarakat kecil” tersebut. Melalui indikator yang dibuat dapat dilakukan spesifikasi “masyarakat kecil” yang sesuai dengan kebutuhan studi, selanjutnya dapat dilakukan sampling.
Sebagai contoh, diambil 100 sampel dari 1000 populasi, yaitu wanita pekerja yang tidak memiliki pembantu RT di distrik A. Untuk populasi yang sangat besar perlu dilakukan sampling, dari sampling tersebut, dihitung berapakah rata-rata sampel dan standar deviasi sampel. Untuk sampel yang berbeda, diperoleh rata-rata dan standar deviasi yang berbeda. Distribusi probabilitas untuk seluruh sampel yang memungkinkan disebut dengan distribusi rata-rata sampel atau dikenal juga dengan distribusi sampling rata-rata.

Distribusi sampling terbagi menjadi
1. Distribusi sampling rerata
2. Distribusi sampling proporsi.

Jenis – jenis distribusi sampling yaitu distribusi sampling rata – rata, distribusi sampling proporsi, distribusi sampling deviasi standar, distribusi sampling selisih rata – rata, dan distribusi sampling

selisih proporsi.

 

Distribusi sampling rata – rata

- Distribusi dari besaran rata – rata yang muncul dari sampel

- Distribusi sampling yang statistik sampelnya merupakan rata – rata hitung suatu sampel.

Distribusi sampling proporsi

- Distribusi sampling proporsi adalah distribusi dari proporsi (presentase) yang diperoleh dari semua sampel sama besar yang mungkin dari suatu populasi.

- Distribusi sampling proporsi dapat juga digunakan untuk mengetahui presentase atau perbandingan antara dual hal yang berkomplemen ( peristiwa binomial ), seperti presentase perokok atau bukan perokok.

Distribusi sampling selisih rata – rata

- Distribusi yang statistic sampelnya merupakan selisih rata – rata sampel.

Distribusi sampling selisih proporsi

- Distribusi sampling beda dua proporsi adalah distribusi dari perbedaan dua besaran proporsi yang muncul dari sampel dua

 

STATISTIK PENDUGA

Pengertian Pendugaan dan Penduga

  • Pendugaan adalah proses yang menggunakan sample statistik untuk menduga atau menaksir hubungan parameter populasi yang tidak diketahui. Pendugaan merupakan suatu pernyataan mengenai parameter populasi yang diketahui berdasarkan informasi dari sample , dalam hal ini sample random , yang diambil dari populasi bersangkutan. Jadi dengan pendugaan itu , keadaan parameter populasi dapat diketahui
  • Pendugaan = Penaksiran = Parameter
  • Penduga adalah suatu statistik ( harga sample) yang digunakan untuk menduga suatu parameter. Dengan penduga , dapat diketahui seberapa jauh suatu parameter populasi yang tidak diketahui berada di sekitar sample ( statistik sample )
  • Secara  umum , parameter diberi lambang θ ( baca : theta ) dan penduga diberi lambang xxx

 

Ciri – ciri Penduga yang Baik

Banyak ciri atau syarat untuuk menentukan apakah sebuah penduga tergolong baik atau tidak . Suatau penduga dikatakan baik apabila memiliki ciri – ciri berikut :

  1. Tidak Bias ( Unbiased )

Suatu penduga ( θ ) dikatakan tidak bias bagi parameternya ( θ ) apabila nilai penduga sama dengan nilai yang diduganya ( parameternya ). Jadi , penduga tersebut secara tepat dapat menduga nilai dari parameternya.

  1. Efisien

Suatu penduga dikatakan efisien bagi parameternya ( θ ) apabila penduga tersebut memiliki varians yang kecil. Apabila terdapat lebih dari satu penduga , penduga yang efisien adalah penduga yuang memiliki varians terkecil. Dua buah penduga dapat dibandingkan efisiensinya dengan menggunakan efisiensi relatif ( relative efficiency ).

  1. Konsisten

Suatu penduga dikatakan konsisten apabila memenuhi syarat berikut :

 

a.       Jika ukuran sample semakin bertambah maka penduga akan mendekati parameternya. Jika besarnya sample menjadi tak terhingga maka penduga konsisten harus dapat memberi suatu pendugaan titik yang sempurna terhadap parameternya.

b.      Jika ukuran sample bertambah tak terhingga maka distribusi sampling penduga akan mengecil menjadi suatu garis tegak lurus di atas parameter yang sebenarnya dengan probabilitas sama dengan 1.

Catatan : Suatu penduga konsisten belum tentu merupakan penduga yang baik , karena konsisten hanya merupakan salah satu syarat.

 

Jenis Pendugaan

 

Teori pendugaan dibagi dua, yaitu:

1.       Pendugaan Tunggal ( point estimate)

ð  Pendugaan yang hanya mempunyai atau menyebutkan satu nilai

Contoh : – pendugaan untuk µ merupakan rata – rata dari sample

-  pendugaan untuk σ2 merupakan varians dari sample s2

- pendugaan untuk p merupakan proporsi dari sample p

2.       Pendugaan interval

yaitu pendugaan yang mempunyai dua nilai sebagai pembatasan atau daerah pembatasan. Jadi di dalam pendugaan interval , dugaan dinyatakan dalam sebuah interval yang dibatasi oleh 2 nilai. Pada pendugaan interval digunakan tingkat keyakinan ( confidence) terhadap daerah yang nilai sebenarnya atau parameternya akan berbeda. Dengan demikian , pendugaan interval yang disertai keyakinan merupakan interval keyakinan ( confidence interval estimate ) atau interval kepercayaan.

·         Tingkat keyakinan / tingkat kepercayaan / tingkat konfidensi / peluang benar ( 1 – α )

Adalah luas daerah di bawah kurva distribusi peluang teoritis yang merupakan tempat kedudukan nilai – nilai taksiran parameter suatu populasi berdasarkan pada statistic sampelnya yang masih dapat diyakini kebenarannya.

·         Tingkat signifikan / tingkat resiko / taraf nyata ( α )

Adalah luas daerah di bawah kurva distribusi peluang teoritis yang merupakan tempat kedudukan nilai – nilai taksiran parameter suatu populasi berdasarkan pada statistic samplenya yang tidak dapat diyakini kebenarannya.

 
Sumber:

  • http://ilerning.com/index.php?option=com_content&view=article&id=468:pengertian-pendugaan-parameter&catid=38:distribusi-normal&Itemid=71